Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ), Đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H .AH ,BH, CH kéo dài cắt đường tròn tâm O lần lượt tại Q,P,R.  M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH , EF cắt AH tại K . Chứng minh :

a, Chứng minhTứ giác BFHD , CEHD , BFEC nội tiếp

b, Kẻ đường kinh AN , G là trọng tâm . Chứng minh H,G,O thẳng hàng

c, Chứng minh P,Q,R đối xứng với H qua AC,BC,AB

d, Chứng minh OA vuông góc với EF và tam giác ARQ cân

e, EF cắt đường tròn tại E1 và F1. Chứng minh AE1 , AF1 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEE1 và tam giác BFF1

f, Chứng minh K là trực tâm của tam giác IBC

h,Chứng minh ME và MF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

B1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

c) Gọi I là trung điểm của B
C.Chứng minh AI vuông góc với EF

d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEF
C.Tính diện tích hình tròn tâm K.

B2: Cho ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b) AH cắt BC tại F. chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE

c) EF cắt đường tròn tại K ( K khác E). chứng minh DK// AF

d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC

B 3: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O) tại E. chứng minh AB2= AE. AD

c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA

d) Tính diện tích tam giác BDC theo R

B4: Cho tam giác ABC nhọn, AB >AC, nội tiếp (O,R), hai đường cao AH, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) Tia BH cắt AC tại E. chứng minh HE.HB= HF.HC

c) Vẽ đường kính AK của (O). chứng minh AK vuông góc với EF

d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R. tính diện tích tam giác AHK theo R

B5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.

a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.

c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau

B6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  ( O; R ),các đường cao BE, CF  .

a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b)Chứng minh OA  vuông góc với EF.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) (AB<AC), 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Tia BE cắt (O) tại M (M khác B) , tia CF cắt (O) tại N (N khác C).

 a) chứng minh CM=CH

 b) MN cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. gọi R là giao điểm của MN và BC. chứng minh RN . RM = RP . RQ

 c) Tia AH cắt BC tại D, gọi K là trung điểm của AC. chứng minh: KEFD nội tiếp

 d) đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF cắt (O) tại T (T khác B). chứng minh H, K, T thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), đường tròn (I,BC) cắt AB,AC tại F,E. BE cắt CF tại H, cắt (O) tại M,N. OI cắt (O) tại J, AH cắt BC tại D, cắt (O) tại K.

a/ CM : H và K đối xứng nhau qua BC 

b/ OA vuông góc với MN

c/ Gọi S, Q là giao điểm của AD với đường tròn (I). S nằm giữa A, D. CM : AE.AC=AD2-DS2

d/ CM : AJ là phân giác chung của góc BAC và HAO của tam giác ABC.

e/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CM : H,G, O thẳng hàng.

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R); các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M,N ( M nằm trên cung nhỏ AB)

1) Chứng minh tam giác AMN can

2) Giả sử AH cắt BC tại D. Chứng minh rằng: \(AM^2=AH.AD\)

3) Gọi P là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng PN cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HN.

Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là một điểm di động trên đường tròn ( P khác A) sao cho \(PA\le PB\).Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ=PA, dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C ( C khác P)

1) Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQB

2) Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB, Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AQB

3) Kẻ đường cao PH của tam giác APB, gọi \(R_1,R_2,R_3\)lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác APB, tam giác APH và tam giác BPH.Tìm vị trí điểm P để tổng \(R_1+R_2+R_3\)đạt giá trị lớn nhất